ما هي الأعداد الصحيحة

ما هي الأعداد الصحيحة في الرياضيات وما هي مجموعتها وخصائصها وعملياتها الحسابية المبنية عليها؟ من الأشياء المهمة التي يحتاجها الطالب ، ليس فقط في الرياضيات ، ولكن في المعادلات الفيزيائية والكيميائية والعلمية ، حتى في معظم مجالات الحياة وجوانبها التي نحتاجها ، كما وعدنا ، سيجيب الموقع مقالتي نتي على جميع استفساراتك بخصوص هذا الموضوع والمواضيع الأخرى التي تهمك.

ما هي الاعداد الصحيحة

الأعداد الصحيحة هي أصغر مجموعة من الأعداد الطبيعية ، وهي أرقام لا تأتي في شكل عشري أو كسري. تحتوي الأعداد الصحيحة في مجموعتها على أعداد سالبة وموجبة ، بما في ذلك الصفر. في نظرية الأعداد الجبرية ، يتم تصنيف الأعداد الصحيحة أحيانًا على أنها أعداد صحيحة منطقية لتمييزها عن الأعداد الصحيحة الجبرية الأكثر شيوعًا ، في الواقع (Boolean) هي أعداد صحيحة جبرية هي أيضًا أرقام منطقية ، أمثلة على الأعداد الصحيحة هي: -5 ، 0 ، 1 ، 5 و 8 و 97 و 3043.[1]

راجع أيضًا: يمكن كتابة الرقم 625 بالأشكال الأسية التالية

مجموعة من الأعداد الصحيحة

تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمثلها Z ما يلي:[1]

• الأعداد الصحيحة الموجبة: يكون العدد الصحيح موجبًا إذا كان أكبر من الصفر ، على سبيل المثال: 1 و 2 و 3 وغيرها.
• الأعداد الصحيحة السالبة: تكون الأعداد الصحيحة سالبة إذا كانت أقل من الصفر ، على سبيل المثال: -1 ، -2 ، -3 وغيرها.
• عدد صحيح محايد: الصفر ليس عددًا صحيحًا سالبًا أو موجبًا ، إنه عدد صحيح محايد. مثال: Z = {… -7 ، -6 ، -5 ، -4 ، -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، …} وأرقام موجبة وسالبة أخرى وأرقام أخرى كل الأعداد الصحيحة.

خصائص الأعداد الصحيحة

هناك خمس خصائص رئيسية للأعداد الصحيحة ، وهنا شرح مفصل لكل خاصية على حدة:[2]

ميزة القفل

• تنص خاصية الإغلاق الخاصة بالجمع والطرح على أن مجموع أو فرق أي عددين صحيحين سيكون دائمًا عددًا صحيحًا ، أي إذا كان x و y أي رقمين صحيحين ، فإن x + y و x – y سيكونان أيضًا عددًا صحيحًا ، المثال 1: 3-4 = 3 + (−4) = 1، (–5) + 8 = 3 النتائج أعداد صحيحة.
• يشير الإغلاق تحت خاصية الضرب إلى أن حاصل ضرب أي عددين صحيحين سيكون عددًا صحيحًا ، أي إذا كان x و y أي عددين صحيحين ، فسيكون xy أيضًا عددًا صحيحًا. مثال 2: 6 × 9 = 54 ؛ (–5) x (3) = 15 وهي أعداد صحيحة.
• لا تحتوي القسمة الصحيحة على خاصية إغلاق ، أي أن حاصل قسمة أي عددين صحيحين x و y قد يكون أو لا يكون عددًا صحيحًا ، على سبيل المثال 3: (−3) ÷ (−6) = ليس عددًا صحيحًا.

ميزة التبادل

• تنص الخاصية التبادلية للجمع والضرب على أن ترتيب المصطلحات لا يهم ، وستكون النتيجة هي نفسها ، سواء كانت إضافة أو مضاعفة ، لن يغير تبادل المصطلحات المجموع أو المنتج ، لنفترض أن x و y أيهما عدد صحيح ، إذن: ⇒ x + y = y + x، ⇒ xxy = yxx ، المثال 4: 4 + (−6) = −2 = (−6) + 4، 10 x (−3) = 30 = (3) × 10.
• لكن الطرح (x – y ≠ y – x) والقسمة (x ÷ y ≠ y ÷ x) ليسا تبادليين للأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة ، المثال 5: 4 – (6) = 10 ؛ (−6) – 4 = 10 4 – (6) ≠ (6) – 4 ، مثال: 10 ÷ 2 = 5 ؛ 2 ÷ 10 = 10 2 2 10

خاصية القوس

• تنص الخاصية الترابطية للجمع والضرب على أن طريقة تجميع الأرقام ليست مهمة وأن النتيجة ستكون هي نفسها ، ويمكن للمرء تجميع الأرقام بأي طريقة ولكن الإجابة ستبقى كما هي ، ويمكن عمل الأقواس بغض النظر عن ترتيب المصطلحات ، لنفترض أن x و y و z هي أي ثلاثة أرقام صحيحة ⇒ x + (y + y) = (x + y) + z xxx (yxz) = (xxy) xp ، المثال 6: 1 + (2 + (-3) )) = 0 = (1 + 2) + (3) ؛ 1 × (2 × (−3)) = 6 = (1 × 2) × (−3).
• إن طرح الأعداد الصحيحة ليس ترابطيًا بطبيعته ، أي x – (y – z) ≠ (x – y) – z ، مثال 7: 1 – (2 – (−3)) = −4 ؛ (1-2) – (−3) = 2 ، 1 – (2 – (−3)) ≠ (1-2) – (−3)

خاصية التوزيع

يشرح التوزيع القدرة على توزيع العمليات على عملية حسابية أخرى داخل شريحة ، ويمكن أن يكون إما خاصية توزيع للضرب على خاصية الجمع أو خاصية توزيع للضرب عند الطرح ، وهنا يتم إضافة الأعداد الصحيحة أو طرحها أولاً ثم ضرب أو مضروبًا أولاً في كل رقم داخل القوس ثم جمعه أو طرحه. يمكن تمثيل ذلك لأي أعداد صحيحة x و y و z على النحو التالي:

• ⇒ xx (y + z) = xxy + xx
• ⇒ xx (y – z) = xxy – xx

مثال 8: −5 (2 + 1) = 15 = (5 × 2) + (−5 × 1)

خاصية الهوية

• تنص خاصية الهوية المضافة على أنه عند إضافة أي عدد صحيح إلى الصفر ، فإنه سيعطي نفس الرقم ، ويسمى الصفر الهوية المضافة لأي عدد صحيح x ، x + 0 = x = 0 + x
• تقول خاصية الهوية المزدوجة للأعداد الصحيحة أنه عندما يتم ضرب رقم في 1 ، فإنه سيعطي نفس العدد الصحيح مثل المنتج ، لذلك يُطلق على الرقم 1 الهوية المزدوجة لرقم ، لأي عدد صحيح x ، xx 1 = x = 1 xx
• إذا تم ضرب أي عدد صحيح في 0 ، فستكون النتيجة صفرًا: xx 0 = 0 = 0 xx
• إذا تم ضرب أي عدد صحيح في -1 ، فسيكون حاصل الضرب عكس الرقم: xx (−1) = −x = (−1) x x.

راجع أيضًا: ما هو الرقم الذي يمكن وضعه في الفراغ لجعل الجملة صحيحة

عمليات على الأعداد الصحيحة

ترتبط العمليات الحسابية الأساسية الأربع بالأعداد الصحيحة وهذه العمليات هي:[3]

مضيفا الأعداد الصحيحة

يتم وضع الرقم صفر في منتصف خط الأعداد ، وعندما نمتد إلى يمين الصفر لدينا أرقام موجبة وأرقام سالبة تمتد إلى يسار الصفر ، وعند إضافة أعداد صحيحة موجبة وأعداد صحيحة سالبة ، سنتخيل أننا نتحرك على طول خط الأعداد ، إضافة وطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد ، وإضافة طرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد ، إليك قواعد جمع الأعداد الصحيحة:

• عند إضافة رقمين بنفس العلامة ، نضع العلامة ثم نضيف: على سبيل المثال: إذا افترضنا أنه طُلب منا إضافة الرقمين 4 و 3 ، فسنبدأ بالانتقال إلى الرقم 4 على خط الأرقام ، متحركًا أربع وحدات بالضبط على يمين الصفر ، إذن علينا تحريك ثلاث وحدات إلى اليمين ، بما أننا وضعنا سبع وحدات على يمين الصفر ، نقول إن مجموع 3 و 4 يساوي 7 ، (+3) + (+4) = +4 ، أو (-3) – (-4) = (-7).

• عند إضافة عددين مختلفين بعلامة ، نضع علامة أكبر عندما نطرح:) إذا افترضنا أنه طُلب منا جمع العددين 8 و -2 ، فسنبدأ بتحريك ثماني وحدات إلى يمين الصفر و ثم حرك وحدتين إلى اليسار من هناك لأننا نعلم أن الأعداد السالبة تجعلنا ننتقل إلى الجانب الأيسر من خط الأعداد ، نظرًا لأن آخر موضع لدينا هو ست وحدات على يمين الصفر ، يمكننا القول إن مجموع 8 و – 2 يساوي 6 ، (-2) + (+8) = +6 ، (+2) – (-8) = -6.

اطرح الأعداد الصحيحة

تتحول مسائل الطرح إلى مشاكل جمع. يتم اتباع خطوتين رئيسيتين عند طرح رقمين:

• قمت بتغيير علامة الطرح في السؤال المحدد إلى علامة زائد: (+4) – (+3) = (+4) + (-3).
• اعكس علامة الرقم فورًا بعد علامة الجمع الموضوعة حديثًا: (+4) – (+3) = (+4) + (-3).

وفقًا لهذه الخطوات ، يتعين علينا تغيير علامة الطرح إلى علامة الجمع في أي سؤال يتعين علينا أن نأخذ معكوس 3 وهو -3 ، لذا فإن المشكلة الآن هي:

• (+4) + (-3) الآن باستخدام قواعد الجمع ، فإن الإجابة التي نحصل عليها هي +1.
• = (+ 4) – (+3)
• = (+ 4) + (-3)
• = + 1

فيما يلي بعض الأمثلة الأخرى لفهم أفضل:

• مثال 1) -2 – 7 = -2 + (-7) = -9
• مثال 2) 6 – (-2) = 6 + 2 = 8
• مثال 3) -7 – (-2) = -7 + 2 = -5

اضرب الأعداد الصحيحة

القاعدة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند ضرب عددين صحيحين ، نقوم بعملية الضرب بدون علامة ، ثم سيكون لديك قاعدتان بعد ضرب العددين:

• تكون علامة النتيجة موجبة إذا كان للرقمين نفس العلامة: (+4) x (+3) = +12، (-4) x (-3) = +12.
• تكون علامة النتيجة سالبة إذا كان الرقمان متماثلان مع الإشارة: (-4) x (+3) = -12 ، (+4) x (-3) = -12.

قسمة الأعداد الصحيحة

القاعدة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند قسمة عددين صحيحين ، نقوم بالقسمة بدون علامة ، ثم سيكون لديك قاعدتان بعد قسمة العددين:

• تكون علامة النتيجة موجبة إذا كان الرقمان متماثلان مع الإشارة: (+12) ÷ (+3) = +4 ، (-12) ÷ (-3) = +4.
• تكون علامة النتيجة سالبة إذا كان الرقمان متماثلان مع الإشارة: (-12) ÷ (+3) = -4 ، (+12) ÷ (-3) = -4.

بهذا القدر من المعلومات وصلنا إلى نهاية هذه المقالة التي كانت بعنوان ما هي الأعداد الصحيحة ، والتي قدمنا ​​فيها معلومات عن مجموعات الأعداد الصحيحة وخصائصها الخمسة ، وفي نهاية المقال قدمنا ​​لكم عمليات على الأعداد الصحيحة مع أمثلة لإثراء فكر قرائنا الأعزاء.